球体扰动上的超临界椭圆问题

我们考察区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中的 H\'enon 方程 $-\Delta u =|x|^\alpha u^p$，边界条件为在 $\partial \Omega$ 上 $u=0$，其中 $0 < \alpha$。我们证明存在一个序列 $\{p_k\}_k \subset [\frac{N+2}{N-2}, p_{\alpha}(N)]$，满足 $p_1 < p_2 <p_3 < ...$ 且 $p_k \nearrow p_{\alpha}(N)$，使得对于任何 $\frac{N+2}{N-2} \le p < p_{\alpha}(N)$ 且避开 $\{p_k\}_k$ 的 $p$，只要 $\Omega$ 是单位球的充分小扰动，H\'enon 方程就存在正经典解。我们还考察了外区域情形下的 Lane-Emden-Fowler 方程；即在外区域 $\Omega$ 中 $-\Delta u = u^p$，边界条件为在 $\partial \Omega$ 上 $u=0$。我们证明了存在 $\frac{N+2}{N-2} \le p_1 < p_2 < p_3<...$ 且 $p_k \rightarrow \infty$，使得如果 $\frac{N+2}{N-2} < p$ 且避开 $\{p_k\}_k$，那么只要 $\Omega$ 是单位球外部的充分小扰动，就存在正的\emph{快衰减}经典解。