具有临界和超临界指数的半线性非局部椭圆方程

我们研究如下问题：\begin{eqnarray*} (-\Delta)^s u &=& u^p - u^q \quad\text{in }\quad \mathbb{R}^N, u &\in& \dot{H}^s(\mathbb{R}^N)\cap L^{q+1}(\mathbb{R}^N), u&>0& \quad\text{in}\quad\mathbb{R}^N, \end{eqnarray*} 其中$s\in(0,1)$为固定参数，$(-\Delta)^s$是$\mathbb{R}^N$中的分数阶拉普拉斯算子，$q>p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$且$N>2s$。对于每个$s\in(0,1)$，我们建立了上述方程解的正则性结果（只要解存在），并证明了每个解都是经典解。接下来，我们推导了所有$s\in(0,1)$情况下解及其梯度在无穷远处的某些衰减估计。利用这些衰减估计，我们在$\mathbb{R}^N$中证明了 Pohozaev 型恒等式，并表明当$p=\frac{N+2s}{N-2s}$时，上述问题无任何解。我们还讨论了解的径向对称性和递减性质，并证明了当$p>\frac{N+2s}{N-2s}$时，上述问题存在解。此外，如果我们在具有 Dirichlet 边界条件的有界域中考虑上述方程，我们证明了对于每个$p\geq \frac{N+2s}{N-2s}$，该方程都存在解，且每个解都是经典解。