基于局部 Pohozaev 身份构造非线性临界椭圆系统解的构造

本文研究如下椭圆系统具有 Sobolev 临界增长的情形:$-\Delta u+P(|y'|,y'')u=u^{2^*-1}+\frac{\beta}{2} u^{\frac{2^*}{2}-1}v^{\frac{2^*}{2}},\ y\in R^N$, $-\Delta v+Q(|y'|,y'')v=v^{2^*-1}+\frac{\beta}{2} v^{\frac{2^*}{2}-1}u^{\frac{2^*}{2}}$, $y\in R^N ,u,v>0,u,\,v\in H^1(R^N)$,其中$(y',y'')\in R^2 \times R^{N-2}$, $P(|y'|,y''), Q(|y'|,y'')$为 $R^+\times R^{N-2}$ 中的有界非负函数，$2^*=\frac{2N}{N-2}$。通过结合有限还原论证与局部 Pohozaev 类型身份，假设 $N\geq 5$且 $r^2(P(r,y'')+\kappa ^2Q(r,y''))$具有常见拓扑非平凡临界点，我们构建了一个无界序列的非径向正向量解（类型为同步），其能量可被任意放大。我们的结果扩展了单一临界问题的结果[ Peng, Wang and Yan,J. Funct. Anal. 274: 2606-2633, 2018]。主要创新点体现在两个方面：其一，当 $N\geq5$时，耦合指数 $\frac{2}{N-2}<1$，这给直接应用扰动论证带来很大困难，这构成了耦合系统与单方程之间的主要差异；其二， $P(y)$ 和 $Q(y)$ 的较弱对称条件使得我们不能直接估计在定位解的浓度点时对应的简化函数的导数，我们采用某些局部 Pohozaev 身份来定位浓度点。