具有临界非线性的 Choquard 方程

本文中，我们研究 $\mathbb{R}^N$ 中 Choquard 方程的 Brezis-Nirenberg 型问题 \begin{equation*} -\Delta u+u=(I_{\alpha}\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u+\lambda|u|^{q-2}u \quad \mathrm{in}\ \mathbb{R}^N, \end{equation*} 其中 $N\geq 3,\ \alpha\in(0,N)$，$\lambda>0$，$q\in (2,\frac{2N}{N-2}]$，$p=\frac{N+\alpha}{N}$ 或 $\frac{N+\alpha}{N-2}$ 是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的临界指数，且 $I_\alpha$ 为 Riesz 位势。基于次临界问题的结果，并利用次临界逼近与 Pohožaev 约束方法，我们得到了该问题在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中的一个正且径向非增的基态解。最后，获得了一般 Choquard 方程解的正则性与 Pohožaev 恒等式。