质量超临界设定下低临界Choquard方程的归一化解

我们研究以下Choquard方程的归一化解：\n\begin{equation*}\n\aligned\n&-\Delta u + \lambda u =\mu g(u) + \gamma (I_\alpha * |u|^{\frac{N+\alpha}{N}})|u|^{\frac{N+\alpha}{N}-2}u & \text{in\ \ } \mathbb{R}^N\n\endaligned\n\end{equation*}\n在 $L^2$-范数约束 $\|u\|_2=c$ 下。这里 $\gamma>0$，$N\geq 1$，$\alpha\in(0,N)$，$I_{\alpha}$ 是Riesz势，未知量 $\lambda$ 出现为Lagrange乘子。在关于 $g$ 的质量超临界设定下，我们在 $(c,\mu)$ 参数空间中找到了区域，使得对应方程存在正的径向基态解。为了克服由非局部项导致的紧性缺失，我们给出了一个新颖的紧性引理和一些先验能量估计。这些结果对于幂型非线性 $g(u)= |u|^{q-2}u$ 且 $2+\frac{4}{N}<q<2^*$（其中 $2^*:=\frac{2N}{N-2}$（若 $N\geq 3$），$2^* = \infty$（若 $N=1, 2$））也是新的。我们还证明，当 $\mu$ 或 $c$ 趋于 $0$（相应地 $\mu$ 或 $c$ 趋于 $+\infty$）时，经过适当的重新缩放，基态解在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中收敛于极限方程的某个特定解。此外，我们研究了以下方程正径向解的非存在性和多重性：\n\begin{equation*}\n-\Delta u + u = \eta |u|^{q-2}u + (I_\alpha * |u|^{\frac{N+\alpha}{N}})|u|^{\frac{N+\alpha}{N}-2}u, \quad \text{in}\ \ \mathbb{R}^N\n\end{equation*}\n其中 $N \geq 1$，$2< q<2^*$ 且 $\eta>0$。基于关于归一化解极限行为的一些分析思想，我们验证了 $\eta$ 的某些阈值区域，使得对应方程没有正的最小作用量解或存在多个正解。据我们所知，这似乎是第一个涉及低临界指数的Choquard型方程正解非存在性和多重性的结果。