临界 Choquard 系统的归一化解

本文考虑具有给定质量的临界 Choquard 系统 \begin{equation*} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta u+\lambda_1u=(I_\mu\ast |u|^{2^\ast_\mu})|u|^{2^\ast_\mu-2}u+\nu p(I_\mu\ast |v|^q)|u|^{p-2}u\ & \text{in}\quad \mathbb{R}^N,\\ -\Delta v+\lambda_2v=(I_\mu\ast |v|^{2^\ast_\mu})|v|^{2^\ast_\mu-2}v+\nu q(I_\mu\ast |u|^p)|v|^{q-2}v\ & \text{in}\quad \mathbb{R}^N,\\ \int_{\mathbb{R}^N}u^2=a^2,\quad\int_{\mathbb{R}^N}v^2=b^2, \end{array}\right.\end{aligned} \end{equation*} 其中 $N\geq3$，$0<\mu<N$，$\nu\in\mathbb{R}$，$I_\mu:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ 为 Riesz 位势，且 $2_{\mu,*}:=\frac{2N-\mu}{N}<p,q<\frac{2N-\mu}{N-2}:=2^\ast_{\mu},$ 其中 $2_{\mu,*}, 2^\ast_{\mu}$ 分别称为 Hardy-Littlewood-Sobolev 意义下的下、上临界指数。当 $\nu<0$ 时，我们证明不存在归一化基态。当 $\nu>0$ 时，我们通过区分三种情形研究归一化解的存在性、不存在性及渐近行为：$L^2$-次临界情形：$p+q<4+\frac{4-2\mu}{N}$；$L^2$-临界情形：$p+q=4+\frac{4-2\mu}{N}$；$L^2$-超临界情形：$p+q>4+\frac{4-2\mu}{N}$。特别地，在 $L^2$-次临界情形，且 $N\in\{3,4\}$ 或 $N\geq5$ 并满足 $(\frac N2-1)p+\frac {N}{2}q\leq 2N-\mu$ 与 $(\frac N2-1)q+\frac {N}{2}p\leq 2N-\mu$ 时，我们证明存在 $\nu_0>0$ 使得系统对 $0<\nu<\nu_0$ 具有正径向归一化基态。在 $L^2$-临界情形且 $N\in\{3,4\}$ 时，我们表明存在 $\nu'_0>0$ 使得系统对 $0<\nu<\nu'_0$ 具有正径向归一化基态。在 $L^2$-超临界情形且 $N\in\{3,4\}$ 时，存在两个阈值 $\nu_2\geq\nu_1\geq0$，使得当 $\nu>\nu_2$ 时存在正径向归一化解，而当 $\nu<\nu_1$ 时不存在归一化基态。