非自治 Choquard 方程的归一化基态解

本文研究如下非自治 Choquard 方程的归一化基态解：$$-\Delta u-\lambda u=\left(\frac{1}{|x|^{\mu}}\ast A|u|^{p}\right)A|u|^{p-2}u,\quad \int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{2}dx=c,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}),$$其中 $c>0$, $0<\mu<N$, $\lambda\in\mathbb{R}$, $A\in C^1(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$。对于 $p\in(2_{*,\mu}, \bar{p})$,我们证明该 Choquard 方程存在基态归一化解,且基态集合是轨道稳定的。对于 $p\in (\bar{p},2^*_\mu)$,我们找到一个归一化解,其并非全局极小元。$2^*_\mu$ 与 $2_{*,\mu}$ 分别是由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式给出的上、下临界指数。$\bar{p}$ 为 $L^2-$临界指数。我们的结果推广并推广了一些相关结论。