具有组合非线性的双调和非线性薛定谔方程的归一化解

本文研究下列具有组合非线性的双调和非线性薛定谔方程在给定质量下的归一化基态解的存在性\n\begin{equation*} \Delta^2u=\lambda u+\mu|u|^{q-2}u+|u|^{p-2}u,\quad \text {in $\mathbb{R}^N$} \end{equation*}\n其质量为\n\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=a^2, \end{equation*}\n其中$N\geq2$，$\mu\in \mathbb{R}$，$a>0$，若$2\leq N\leq 4$则$2<q<p<\infty$，若$N\geq 5$则$2<q<p\leq 4^*$，且$4^*=\frac{2N}{N-4}$为Sobolev临界指数，$\lambda\in \mathbb{R}$作为拉格朗日乘子出现。利用Sobolev次临界逼近方法，我们证明了当$N\geq5$、$\mu>0$、$p=4^*$、且$2<q<2+\frac{8}{N}$时的山路型第二临界点的存在性。此外，我们还考虑了$\mu=0$与$\mu<0$的情形。