聚焦型 Sobolev 临界双调和薛定谔方程在混合色散下的归一化解

本文研究以下具有混合色散和 Sobolev 临界增长的聚焦型双调和薛定谔方程：$$\begin{cases} {\Delta}^2u-\Delta u-\lambda u-\mu|u|^{p-2}u-|u|^{4^*-2}u=0\ \ \mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \\[0.1cm] \int_{\mathbb{R}^N} u^2 dx = c, \end{cases}$$ 其中 $N \geq 5$，$\mu,c>0$，$2<p<4^*:=\frac{2N}{N-4}$，且 $\lambda \in \mathbb{R}$ 为拉格朗日乘子。针对该问题，在 $L^2$-次临界扰动（$2<p<2+\frac{8}{N}$）情形下，我们通过截断技术、集中紧性原理以及 C.O. Alves 等人提出的亏格理论（Arxiv, (2021), doi: 2103.07940v2），推导出归一化解的存在性与多重性。与 C.O. Alves 等人的结果相比，我们在移除其论文 (3.2) 式中给出的额外假设后，得到了一个更一般的结果。在 $L^2$-超临界扰动（$2+\frac{8}{N}<p<4^*$）情形下，我们应用约束变分方法和山路定理，探索了归一化解的存在性结果。此外，我们提出了一种新方法来处理色散项 $\Delta u$ 的影响。这种方法使我们能够将 X. Chang 等人（Arthiv, (2023), doi: 2305.00327v1）近期获得的结果推广到混合色散的情形。