$\mathbb{R}^{N}$ 中具有组合非线性的临界双调和方程归一化解的集中现象

我们证明了 $\mathbb{R}^{N}$ 中具有组合非线性的临界双调和方程归一化解的多重性和集中性 \begin{equation*} \Delta^{2}u+V(\varepsilon x)u=\lambda u+\mu |u|^{q-2}u+|u|^{2^{**}-2}u \mbox{ in }\ \mathbb{R}^{N}, \quad \int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{2}dx=c^{2}, \end{equation*} 其中 $\Delta^{2}$ 是双调和算子，$N\geq5$，$\mu,c>0$，$\varepsilon>0,$ $\lambda\in\mathbb{R}$，$q\in(2,2+\frac{8}{N}),$ 且 $2^{**}=\frac{2N}{N-4}$ 是 Sobolev 临界指数。势函数 $V$ 是一个有界且连续的非负函数，满足某些合适的全局条件。使用极小化技巧和截断论证，我们证明了当参数 $\varepsilon$ 足够小时，归一化解的数量不少于 $V$ 的全局极小值点的数量。为了克服由临界增长导致的能量泛函紧致性缺失，我们应用了集中紧致性原理。据我们所知，这项研究是关于 $\mathbb{R}^{N}$ 中具有组合非线性的临界双调和方程归一化解的集中性和多重性性质的首次贡献。在某种程度上，本文包含的主要结果补充了近期关于具有组合非线性的双调和方程研究的若干贡献。