$p$ -Laplacian 方程带对数非线性正规解的存在性与集中

我们研究了具有对数非线性的 $p$ -Laplacian 问题的正规解的存在性与集中问题，问题形式为\n\n$$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\varepsilon^p\Delta_p u+V(x)|u|^{p-2}u=\lambda |u|^{p-2}u+|u|^{p-2}u\log|u|^p ~\text{in}~\mathbb R^N,\newline \displaystyle \int_{\mathbb R^N}|u|^pdx=a^p\varepsilon^N, \end{array} \right.$$\n\n其中 $a,\varepsilon> 0$，$\lambda\in\mathbb R$ 为已知的拉格朗日乘子，$\Delta_p\cdot =\text{div} (|\nabla \cdot|^{p-2}\nabla \cdot)$ 表示标准的 $p$ -Laplacian 算子，其中 $2\leq p < N$，且 $V \in \mathcal{C}^0(\mathbb R^N)$ 为势函数，满足若干适当假设。我们证明了正解的个数取决于 $V$ 的轮廓，且每个解在半经典极限时刻 ($\varepsilon\to0^+$) 在 $V$ 的全局最小值点处集中，通过变分方法。此外，我们还获得了一些涉及质量超临界非线性的对数型 $p$ -Laplacian 方程的正规解的存在性。