p-Kirchhoff 方程归化解的多重性与渐近行为

在本文中，我们研究一类 p-Kirchhoff 方程 $$-\left( a+b\int_{\mathbb{R} ^3}{\left| \nabla u \right|^pdx} \right) \varDelta _pu=\lambda \left| u \right|^{p-2}u+\left| u \right|^{q-2}u, x \in \mathbb{R}^3$$ 具有预定质量 $$\left(\int_{\mathbb{R} ^3}{\left| u \right|^{p}dx}\right)^\frac{1}{p} = c > 0$$ 其中 $a>0, b > 0,\frac{3}{2} <p <3, p < q < p^{\ast}:=\frac{3p}{3-p}$，$\varDelta _pu=div\left( \left| \nabla u \right|^{p-2}\nabla u \right)$ 是 $u$ 的 $p$-Laplacian，$\lambda \in \mathbb{R}$ 是 Lagrange 乘子。我们考虑 $L^p$-次临界、$L^p$-临界和 $L^p$-超临界情况。具体而言，在 $L^p$-次临界和 $L^p$-临界情况下，我们获得了 p-Kirchhoff 方程归化解的存在性与非存在性。在 $L^p$-超临界情况下，我们获得了 p-Kirchhoff 方程径向基态的存在性以及径向归化解的多重性。此外，我们研究了当 $b \rightarrow 0^+$ 时归化解的渐近行为。另外，当 $\frac{3}{2} < p \leq 2$ 时，得益于 Gargliardo-Nirenberg 不等式优化子的唯一性（至多相差平移），我们证明了归化解的存在性与唯一性，并给出了精确描述。