一类具 Sobolev 临界指数的 Kirchhoff 方程的归一化解

本文考虑如下 Kirchhoff 方程在归一化约束 $\int_{{\mathbb{R}^3}} {{u}^2}=c^2$ 下解的存在性与渐近性质 \begin{equation}\label{1}\nonumber - \Bigl(a+b\int_{{\R^3}} {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}}\Bigl) \Delta u =\lambda u+ {| u |^{p - 2}}u+\mu {| u |^{q - 2}}u \text { in } \mathbb{R}^{3} \end{equation}，其中 $a\!>\!0$，$b\!>\!0$，$c\!>\!0$，$2\!<\!q\!<\!\frac{14}{3}\!<\! p\!\leq\!6$ 或 $\frac{14}{3}\!<\!q\!<\! p\!\leq\! 6$，$\mu\!>\!0$ 且 $\lambda\!\in\!\R$ 作为拉格朗日乘子出现。在 $p$ 与 $q$ 范围的两种情形下，均涉及 Sobolev 临界指数 $p\!=\!6$，且相应能量泛函在 S_c=\Big\{ u \in H^{1}({\mathbb{R}^3}): \int_{{\mathbb{R}^3}} {{u}^2}=c^2 \Big} 上无下界。若 $2\!<\!q\!<\!\frac{10}{3}$ 且 $\frac{14}{3}\!<\! p\!<\!6$，我们得到该方程的多重解结果。若 $2\!<\!q\!<\!\frac{10}{3}\!<\! p\!=\!6$ 或 $\frac{14}{3}\!<\!q\!<\! p\!\leq\! 6$，我们得到该方程的基态解。此外，我们导出了所获归一化解的若干渐近结果。我们的结果将 N. Soave（J. Differential Equations 2020 $\&$ J. Funct. Anal. 2020）关于具组合非线性的非线性 Schr"{o}dinger 方程的研究推广到 Kirchhoff 方程。为处理 Kirchhoff 型方程中非局部项 $({\int_{{\R^3}} {\left| {\nabla u} \right|} ^2}) \Delta u$ 带来的特殊困难，我们发展了扰动的 Pohozaev 约束方法，并通过对纤维映射轮廓的细致分析获得清晰刻画。同时，我们在 $L^2$ 约束下需要一些精细的能量估计以恢复 Sobolev 临界情形中的紧性。