Sobolev 临界 Schrödinger-Poisson-Slater 方程的多重归一化解

我们寻找满足 \begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^3}|u|^2 \, dx = c \end{equation*}（对某个给定的 $c>0$）的 Schr"{o}dinger-Poisson-Slater 方程 $$- \Delta u + \lambda u - \gamma (|x|^{-1} * |u|^2) u - a |u|^{p-2}u = 0 \quad \text{in} \quad \mathbb{R}^3,$$ 的解。这里 $u \in H^1(\mathbb{R}^3)$， $\gamma \in \mathbb{R},$ $a \in \mathbb{R}$ 且 $p \in (\frac{10}{3}, 6]$。当 $\gamma >0$ 且 $a > 0$ 时，无论是在 Sobolev 次临界情形 $p \in (\frac{10}{3}, 6)$ 还是在 Sobolev 临界情形 $p=6$，我们均证明存在 $c_1>0$，使得对任意 $c \in (0,c_1)$，该方程承认两个解 $u_c^+$ 与 $u_c^-$，它们可分别刻画为限制于范数约束的关联{\it 能量}泛函的局部极小值和山路型临界点。在 $\gamma >0$ 且 $a < 0$ 的情形，我们证明对任意 $p \in (\frac{10}{3},6]$ 及任意 $c>0$，该方程承认一个作为全局极小解的解。最后，在 $\gamma <0$、$a >0$ 且 $p=6$ 的情形，我们证明它不存在正解。