$L^2$-Pohozaev 流形的极值问题及其应用

本文考察以下 Schrödinger 方程：\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\n-\Delta u=\lambda u+\mu|u|^{q-2}u+|u|^{2^*-2}u\quad\text{in }\mathbb{R}^N,\\\n\int_{\mathbb{R}^N}|u(x)|^2dx=a,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N),\n\end{cases}\n\end{equation*}\n其中 $N\ge 3$，$2<q<2+\frac{4}{N}$，$a, \mu>0$，$2^*=\frac{2N}{N-2}$ 为临界 Sobolev 指数，$\lambda\in \mathbb{R}$ 是上述方程中未知数之一，作为拉格朗日乘子出现。通过在 $L^2$-Pohozaev 流形上应用最小化方法，我们证明若 $N\geq3$，$q\in\left(2,2+\frac{4}{N}\right)$，$a>0$ 且 $0<\mu\leq\mu^{*}_{a}$，则上述方程有两个正实值解，呈径向对称且径向递减，其中\n\begin{equation*}\n\mu^*_a=\frac{(2^*-2)(2-q\gamma_q)^{\frac{2-q\gamma_q}{2^*-2}}}{\gamma_q(2^*-q\gamma_q)^{\frac{2^*-q\gamma_q}{2^*-2}}}\inf_{u\in H^1(\mathbb{R}^N), \|u\|_{2}^2=a}\frac{\left(\|\nabla u\|_2^2\right)^\frac{2^*-q\gamma_q}{2^*-2}}{\|u\|_q^q\left(\|u\|_{2^*}^{2^*}\right)^{\frac{2-q\gamma_q}{2^*-2}}}.\n\end{equation*}\n我们的结果改进了 \cite{JeanjeanLe2021,JeanjeanJendrejLeVisciglia2022,Soave2020-2,WeiWu2022} 中的结论，我们希望本文的证明与讨论能为理解上述方程正解集合的结构提供新技术和思路。