具有 Sobolev 临界指数与组合非线性的 Schr"{o}dinger 方程归一化解的研究

我们考虑具有组合非线性的 Sobolev 临界 Schr"{o}dinger 方程 \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u=\lambda u+|u|^{2^*-2}u+\mu|u|^{q-2}u,\ \ x\in\mathbb{R}^{N},\\ u\in H^1(\mathbb{R}^N),\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=a, \end{cases} \end{equation*} 其中 $N\geq 3$，$\mu>0$，$\lambda\in \mathbb{R}$，$a>0$ 且 $q\in (2,2^*)$。本文证明：(1) 当 $q\in (2,2+\frac{4}{N})$ 且 $\mu a^{\frac{q(1-\gamma_q)}{2}}\leq (2K)^{\frac{q\gamma_q-2^*}{2^*-2}}$（其中 $\gamma_q:=\frac{N}{2}-\frac{N}{q}$，$K$ 为某正常数）时解的多重性与稳定性。该结果将 Jeanjean 等人 \cite{JEANJEAN-JENDREJ} 及 Jeanjean 与 Le \cite{Jeanjean-Le} 在 $\mu a^{\frac{q(1-\gamma_q)}{2}}<(2K)^{\frac{q\gamma_q-2^*}{2^*-2}}$ 情形所得结果推广至 $\mu a^{\frac{q(1-\gamma_q)}{2}}\leq (2K)^{\frac{q\gamma_q-2^*}{2^*-2}}$ 情形。(2) 当 $q=2+\frac{4}{N}$ 且 $\mu a^{\frac{q(1-\gamma_q)}{2}}\geq\bar{a}_N$（$\bar{a}_N$ 为某正常数）时基态的不存在性。我们对这一结果给出了不同于 Wei 与 Wu \cite{Wei-Wu 2021} 的新证明。