Caffarelli-Kohn-Nirenberg 临界指数下加权 Laplacian 问题的规范解

本文建立了在 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 算子支配的加权非线性 Schrödinger 型方程中规范解的存在性与数目性。方程为：$$-\text{div}(|x|^{-2a}\nabla u)=\lambda \frac{u}{|x|^{2a}}+\beta\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^{bq}} +\frac{|u|^{2^{\sharp}-2}u}{|x|^{b{2^{\sharp}}}}\quad \text{in}~\mathbb{R}^N,$$ $$\int_{\mathbb{R}^N}\frac{|u|^2}{|x|^{2a}}dx=\rho^2,$$其中 $\lambda\in \mathbb{R}$，$\beta,~\rho>0$，$0< a<\frac{N-2}{2}$，$a<b<a+1$，$2^{\sharp}:=\frac{2N}{N-2(1+a-b)}$ 且 $2<q<{2^{\sharp}}$。通过受约束的变分技术、对 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式最佳常数的细化估计，以及定制化浓度紧凑性引理，研究确保了质量亚临界基态解以及多个受约束临界点，以及在质量临界和超临界情形下的高能基态解——尽管来自 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 临界非线性在无界域上的非紧凑性。