带 Neumann 边界条件下具有给定质量的 $L^2$ 超临界 NLS 方程解

本文研究如下带有 Neumann 边界条件的非线性 Schrödinger 方程：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u+ \lambda u= f(u) & {\rm in} \, ~\Omega,\\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial \nu}=0 \, &{\rm on}\,~\partial \Omega \end{cases} \end{equation*} 联合约束条件：\begin{equation*} \int_{\Omega}|u|^2 dx=c, \end{equation*} 其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^N(N\ge3)$ 为光滑有界域，$\nu$ 表示 $\partial \Omega$ 的单位外法向向量，$c$ 为正常数，$\lambda$ 作为拉格朗日乘子。当非线性项 $f$ 在无穷远处表现为一般的质量超临界增长时，我们建立了规范解的存在性，这些解不一定是正解，可表征为关联约束泛函的山坡过法型临界点。我们的做法对各种非线性形式提供了统一处理，包括 $f(u)=|u|^{p-2}u$、$|u|^{q-2}u+ |u|^{p-2}u$、以及 $-|u|^{q-2}u+|u|^{p-2}u$，其中 $2<q<2+\frac{4}{N}<p< 2^*$。通过山值原理与约束泛函的 Morse 指数信息相结合，以及针对 Neumann 边界条件下 NLS 方程的新颖 blow-up 分析，得到该结果。