一类具临界指数的半线性分数阶方程Neumann问题的解

我们建立了如下具分数阶Laplacian与临界指数的半线性Neumann问题解的存在性:\begin{align*}\left\{\begin{array}{l l} { (-\Delta)^{s}u+ \lambda u= \abs{u}^{p-1}u } & \text{in $\Omega,$ } \\ \hspace{0.8cm} { \mathcal{N}_{s}u(x)=0 } & \text{in $\mathbb{R}^{n}\setminus \overline{\Omega},$} \\ \hspace{1.6cm} {u \geq 0}& \text{in $\Omega,$} \end{array} \right.\end{align*} 其中 $\lambda > 0$ 为常数且 $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ 为具有光滑边界的有界域。此处 $p=\frac{n+2s}{n-2s}$ 为临界指数, $n > \max\left\{4s, \frac{8s+2}{3}\right\},$ $s\in(0, 1).$ 由于问题中的临界指数,相应泛函 $J_{\lambda}$ 不满足Palais-Smale (PS)条件,因此无法使用标准变分方法寻找 $J_{\lambda}$ 的临界点。我们通过建立Rayleigh商的上界并借助有界域上Cherrier最优Sobolev不等式的非局部版本克服了这些困难。我们还证明了这些解在小域中的唯一性。