半空间中具有超线性扰动的临界 Neumann 问题解的存在性

本文考虑临界 Neumann 问题解的存在性与多重性：\begin{equation}\label{1.1ab} \left\{ \begin{aligned} -\Delta {u}-\frac{1}{2}(x \cdot{\nabla u})&= \lambda{|u|^{{2}^{*}-2}u}+{\mu {|u|^{p-2}u}}& \ \ \mbox{in} \ \ \ {{\mathbb{R}}^{N}_{+}}, \frac{{\partial u}}{{\partial n}}&=\sqrt{\lambda}|u|^{{2}_{*}-2}u \ & \mbox{on}\ {{\partial {{\mathbb{R}}^{N}_{+}}}}, \end{aligned} \right. \end{equation} 其中 $\mathbb{R}^{N}_{+}=\{(x{'}, x_{N}): x{'}\in {\mathbb{R}}^{N-1}, x_{N}>0\}$，$N\geq3$，$\lambda>0$，$\mu\in \mathbb{R}$，$2< p <{2}^{*}$，$n$ 为边界 ${{\partial {{\mathbb{R}}^{N}_{+}}}}$ 处的外法向量，$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$ 为 Sobolev 嵌入 $D^{1,2}({\mathbb{R}}^{N}_{+})\hookrightarrow {L^{{2}^{*}}}({\mathbb{R}}^{N}_{+})$ 的通常临界指数，${2}_{*}=\frac{2(N-1)}{N-2}$ 为 Sobolev 迹嵌入 $D^{1,2}({\mathbb{R}}^{N}_{+})\hookrightarrow {L^{{2}_{*}}}(\partial \mathbb{R}^{N}_{+})$ 的临界指数。通过建立改进的 Pohozaev 恒等式，我们证明了若 $\mu \le 0$，该问题无非平凡解；通过应用无 $(PS)$ 条件的 Mountain Pass 定理以及对 Mountain Pass 水平的精细估计，我们得到了对所有 $\lambda>0$ 以及参数 $p$ 和 ${\mu}>0$ 的不同取值均存在正解。特别地，对于 $\lambda >0$，$N\ge 4$，$2<p<2^*$，我们证明了该问题存在正解当且仅当 $\mu >0$。此外，利用对偶变分原理，我们还得到了对所有 $\mu>0$ 及合适的 $\lambda$ 该问题多重解的存在性。