带对数项的临界双调和方程非平凡解的存在性

本文考虑如下带对数项的临界双调和问题非平凡解的存在性 \begin{equation*} \begin{cases} \Delta^2 u=\mu \Delta u+\lambda u+|u|^{2^{**}-2}u+\tau u\log u^2, \ \ x\in\Omega, u|_{\partial \Omega }=\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial\Omega}=0, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\mu,\lambda,\tau \in \mathbb{R}$， $|\mu|+|\tau|\ne 0$，$\Delta ^2=\Delta \Delta$ 表示迭代的 N 维 Laplacian，$\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 是具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界域，$2^{**}=\frac{2N}{N-4}(N\ge5)$ 为嵌入 $H_{0}^{2}(\Omega)\hookrightarrow L^{2^{**}}(\Omega)$ 的临界 Sobolev 指数，$H_0^2 (\Omega )$ 为 $C_0^ \infty (\Omega )$ 在范数 $|| u ||:=(\int_{\Omega}|\Delta u|^2)^\frac{1}{2}$ 下的闭包。$(0,+\infty)$ 中 $s\log s^2$ 符号的不确定性本身具有意义。为弄清 $\mu \Delta u$、$\lambda u$ 与 $\tau u \log u^2$ 三项中哪一项对非平凡弱解的存在性影响更大，我们在关于 $\lambda, \mu$ 和 $\tau$ 的某些假设下证明了上述问题中 $N\ge5$ 时非平凡弱解的存在性。