关于具有双调和算子与多重临界非线性的半线性椭圆方程的一个注记

我们研究如下方程非平凡弱解的存在性与不存在性：$${\Delta^2u-\mu\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_{\beta}-2}u}{|x|^\beta}+|u|^{q-2}u\quad\textrm{in ${\mathbb R}^N$,}}$$其中 $N\geq 5$，$q_{\beta}=\frac{2(N-\beta)}{N-4}$，$0<\beta<4$，$1<q\leq 2^{**}$ 且 $\mu<\mu_1:=\big(\frac{N(N-4)}{4}\big)^2$。利用 Pohozaev 型恒等式，我们证明了当 $1<q< 2^{**}$ 时的不存在性结果。另一方面，当方程具有多重临界非线性，即 $q=2^{**}$ 且 $-(N-2)^2\leq\mu<\mu_1$ 时，我们利用 Ambrosetti 和 Rabinowitz 的山路引理及变分法建立了非平凡解的存在性。