一类具临界增长与对数扰动的椭圆问题正解的存在性

我们考虑如下带对数扰动的Brézis-Nirenberg问题的正解存在与不存在性：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u={\left|u\right|}^{{2}^{\ast }-2}u+\lambda u+\mu u\log {u}^{2} &x\in \Omega, \quad \;\:\, u=0& x\in \partial \Omega, \end{cases} \end{equation*} 其中$\Omega$ $\subset$ $\R^N$为有界光滑区域，$\lambda, \mu \in \R$，$N\ge3$，${2}^{\ast }:=\frac{2N}{N-2}$为嵌入$H^1_{0}(\Omega)\hookrightarrow L^{2^\ast}(\Omega)$的临界Sobolev指数。$(0, +\infty)$上$s\log s^2$符号的不确定性本身颇具趣味。我们将证明当$\lambda\in \R, \mu>0$且$N\geq 4$时，存在山路型的正基态解。而$\mu<0$的情形更为棘手。然而，对于$N=3,4$、$\lambda\in (-\infty, \lambda_1(\Omega))$，在若干进一步适当假设下我们亦可建立正解的存在性。并且，当$\mu<0$且$-\frac{(N-2)\mu}{2}+\frac{(N-2)\mu}{2}\log(-\frac{(N-2)\mu}{2})+\lambda-\lambda_1(\Omega)\geq 0$（若$N\geq 3$）时，亦得到不存在性结果。与Brézis, H.和Nirenberg, L.（Comm. Pure Appl. Math. 1983）中的结果相比，当对数扰动参数$\mu$非零时出现了一些新的有趣现象。