带对数扰动的Brézis-Nirenberg问题的山坡路径解

本文给出对Hajaiej等人[2024]提出的关于Brézis-Nirenberg问题带对数扰动时是否存在正能量水平的山坡路径解的正面答案。更准确地说，通过充分利用局部极小解以及对数项和临界项的一些非常精细的估计，我们证明了以下问题\n\n\begin{eqnarray*}\n\begin{cases}\n-\Delta u= \lambda u+\mu|u|^2u+\theta u\log u^2, &x\in\Omega,\\nu=0, &x\in\partial\Omega\n\end{cases}\n\end{eqnarray*}\n\n具有正能量水平的正山坡路径解，其中$\Omega\subset \mathbb{R}^4$为具有光滑边界$\partial\Omega$的有界域，$\lambda\in \mathbb{R}$，$\mu>0$且$\theta<0$。证明中的关键步骤是将山坡路径水平控制在局部极小解之上，以适当的常数确保局部紧凑性。此外，这一结果也推广到三维和五维情形。