Brézis-Nirenberg问题带预定质量约束时多尖峰解的存在性与局部唯一性

本文考察带预定 $L^2$-范数(质量)约束的Brézis-Nirenberg问题: \begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u=|u|^{2^*-2} u +\lambda_\rho u\quad \text { in } \Omega, u>0, \quad u \in H_0^1(\Omega), \quad \int_{\Omega} u^2dx=\rho, \end{cases} \end{equation*} 其中 $N \geqslant 6$, $2^*=2 N /(N-2)$ 为临界索伯瓦指数, $\rho>0$ 为给定的小常数, $\lambda_\rho>0$ 作为拉格朗日乘子. 对任意 $k\in \mathbb{R}^+$, 我们在适当的有界域 $\Omega$ 中构造 $k$-尖峰解. 我们的结果扩展了文献\cite{BHG3,DGY,SZ} 中的研究, 其中作者获得上述方程能量泛函的(局部)最小化器或山坡过法型临界点的正解. 此外, 利用 blow-up 分析和局部 Pohozaev 恒等式, 我们证明 $k$-尖峰解具有局部唯一性. 与无质量约束的标准Brézis-Nirenberg问题不同, 估计不同解对应拉格朗日乘子差异引起的误差是一个额外难点. 我们通过引入与线性化算子核相关的新观察和估计来克服这一难题.