具有对数扰动的临界Kirchhoff型椭圆方程解的存在性与多重性

本文研究如下具有对数扰动的临界Kirchhoff型椭圆方程 \begin{equation}\label{eq0} \begin{cases} -\left(1+b\int_{\Omega}|\nabla{u}|^2\mathrm{d}x\right) \Delta{u}=\lambda u+\mu u\log{u^2}+|u|^{2^{*}-2}u, &x\in\Omega,\\ u=0,&x\in\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{N}(N\geq3)$ 中具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界区域，$b$、$\lambda$ 和 $\mu$ 是参数，$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$ 是临界Sobolev指数。非局部项、临界非线性项和对数项的存在，阻碍了直接应用经典临界点理论。此外，能量泛函的几何结构随空间维数 $N$ 变化，这对问题解的存在性具有关键影响。基于对能量泛函结构的仔细分析，利用变分方法得到了存在性和（或）多重性结果。更具体地，当 $N=3$ 时，问题(0.1)存在一个局部极小解、一个基态解以及一列 $H_0^1(\Omega)$ 范数收敛到 $0$ 的解。当 $N=4$ 时，也得到了无穷多解的存在性。当 $N\geq5$ 时，问题(0.1)存在一个具有负能量的局部极小解。还给出了局部极小解成为基态解的充分条件。