Musielak-Sobolev 空间中具有双重临界性的 Kirchhoff 型椭圆方程

本文旨在建立如下非局部问题弱解的存在性：\begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -a\left(\int_{\Omega}\mathcal{H}(x,|\nabla u|)dx \right) \Delta_{\mathcal{H}}u &=f(x,u) \ \ \hbox{in} \ \ \Omega, \ \ \ \\ \hspace{3.3cm} u &= 0 \ \ \hbox{on} \ \ \partial \Omega, \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^{N},\, N\geq 2$ 是一个有界光滑区域，包含两个开连通子集 $\Omega_p$ 与 $\Omega_N$，满足 $\bar{\Omega}_{p}\cap\bar{\Omega}_{N}=\emptyset$，且 $\Delta_{\mathcal{H}}u=\hbox{div}( h(x,|\nabla u|)\nabla u)$ 为 $\mathcal{H}$-Laplace 算子。我们假定 $\Delta_{\mathcal{H}}$ 在 $\Omega_{p}$ 中退化为 $\Delta_{p(x)}$、在 $\Omega_{N}$ 中退化为 $\Delta_{N}$，非线性函数 $f:\Omega\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 在 $|t|$ 充分大时于 $\Omega_{p}$ 上表现为 $|t|^{p^{\ast}(x)-2}t$，于 $\Omega_{N}$ 上表现为 $e^{\alpha|t|^{N/(N-1)}}$。为在 Musielak-Sobolev 空间中建立存在性结果，我们采用了基于山路定理的变分技术。