关于具有奇异Trudinger-Moser增长的齐次Kirchhoff型椭圆组

本文旨在研究如下Kirchhoff型椭圆组解的多重性 \begin{eqnarray*} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -m\left(\sum^k_{j=1}\|u_j\|^2\right)\Delta u_i=\frac{f_i(x,u_1,\ldots,u_k)}{|x|^\beta}+\varepsilon h_i(x),\ \ & \mbox{in}\ \ \Omega, \ \ i=1,\ldots,k ,\\[2mm] u_1=u_2=\cdots=u_k=0,\ \ & \mbox{on}\ \ \partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中$\Omega$是$\mathbb{R}^2$中包含原点且具有光滑边界的有界域，$\beta\in [0,2)$，$m$为Kirchhoff型函数，$\|u_j\|^2=\int_\Omega|\nabla u_j|^2dx$，当$|s|\rightarrow \infty$时$f_i$的行为类似于$e^{\beta s^2}$（对某$\beta>0$），且存在$C^1$函数$F: \Omega\times\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}$使得$\left(\frac{\partial F}{\partial u_1},\ldots,\frac{\partial F}{\partial u_k}\right)=\left(f_1,\ldots,f_k\right)$，$h_i\in \left(\big(H^1_0(\Omega)\big)^*,\|\cdot\|_*\right)$。当$\varepsilon>0$较小时，我们利用变分法及合适的奇异Trudinger-Moser不等式，建立了上述方程组解多重性的充分条件。