具有 Trudinger-Moser 增长的 Kirchhoff 型椭圆组解的存在性与多解性

本文研究了一类涉及 Trudinger-Moser 指数增长非线性的 Kirchhoff 型椭圆组解的存在性与多解性。我们首先研究以下方程组解的存在性 \begin{eqnarray*} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -\big(a_1+b_1\|u\|^{2(\theta_1-1)}\big)\Delta u= \lambda H_u(x,u,v)\ \ \ &\ \mbox{in}\ \ \ \Omega,\\[2mm] -\big(a_2+b_2\|v\|^{2(\theta_2-1)}\big)\Delta v= \lambda H_v(x,u,v)\ \ \ &\ \mbox{in}\ \ \ \Omega,\\[2mm] u=0, v=0\ \ \ \ &\ \mbox{on}\ \ \ \partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中具有光滑边界的有界域，$\|u\|=\big(\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx\big)^{1/2}$，$H_u$ 与 $H_v$ 在 $|s|\rightarrow \infty$ 时对某些 $\beta>0$ 表现为 $e^{\beta |s|^2}$，$\ a_1,\ a_2>0$，$\ b_1,\ b_2> 0$，$\ \theta_1,\ \theta_2> 1$，且 $\lambda$ 为正参数。在本文后半部分，我们还讨论了由非局部依赖性引起的带正参数的上述方程组的一个新的多解结果。由于 Trudinger-Moser 嵌入所导致的 Kirchhoff 项以及相应能量泛函的紧性缺失，必须借助一些新技术加以克服。