$\mathbb{R}^{N}$ 中涉及凹凸非线性项的四阶 Kirchhoff 型椭圆方程的解

本文中，我们证明了如下四阶 Kirchhoff 型椭圆方程解的存在性与多解性 \begin{eqnarray*} \Delta^{2}u-M(\|\nabla u\|_{2}^{2})\Delta u+V(x)u=f(x,u),\ \ \ \ \ x\in \mathbb{R}^{N}, \end{eqnarray*} 其中 $M(t):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 为 Kirchhoff 函数，$f(x,u)=\lambda k(x,u)+ h(x,u)$，$\lambda\geq0$，$k(x,u)$ 为次线性增长，$h(x,u)$ 在无穷远处满足某些一般的 3-超线性增长条件。我们证明了当 $\lambda=0$ 时上述方程至少存在一个解。当 $\lambda>0$ 充分小时，我们得到至少两个非平凡解。进一步，若 $f(x,u)$ 关于 $u$ 为奇函数，我们证明上述方程对所有 $\lambda\geq0$ 拥有无穷多解。即便在 $\lambda=0$ 的情形下，我们的定理也推广了文献中的一些已知结果，且我们的证明基于变分法。