一类带变号权函数的六阶非齐次 $p(x)$-Kirchhoff 问题

我们证明如下六阶 $p(x)$-Kirchhoff 型问题多解的存在性：$-M(\int_\Omega \frac{1}{p(x)}|\nabla \Delta u|^{p(x)}dx)\Delta^3_{p(x)} u = \lambda f(x)|u|^{q(x)-2}u + g(x)|u|^{r(x)-2}u + h(x) \ \ \mbox{on} \ \Omega$ 且 $\ u=\Delta u=\Delta^2 u=0 \ \ \mbox{on} \ \partial\Omega,$ 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为光滑有界区域，$N > 3$，$\Delta_{p(x)}^3u = \operatorname{div}\Big(\Delta(|\nabla \Delta u|^{p(x)-2}\nabla \Delta u)\Big)$ 为 $p(x)$-三调和算子，$p,q,r \in C(\overline\Omega)$，对所有 $x\in \overline\Omega$ 有 $1< p(x) < \frac N3$，$M(s) = a - bs^\gamma$，$a,b,\gamma>0$，$\lambda>0$，$g: \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为非负连续函数，而 $f,h : \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 为 $\Omega$ 中的变号连续函数。据我们所知，本文是对带变号 Kirchhoff 函数的六阶 $p(x)$-Kirchhoff 型问题研究的首批贡献之一。