一类 Kirchhoff 型问题的多个变号解

本文关注如下形式的非局部 Kirchhoff 型问题变号解的存在性：\begin{equation}\label{s}\tag{S} -\Big(a+b\int_\Omega|\nabla u|^2dx\Big)\Delta u=f(x,u)\, \text{ in }\Omega,\quad\quad u=0 \text{ on }\partial\Omega, \end{equation} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ ($N=1,2,3$) 中具有光滑边界的有界区域，$a>0$，$b>0$，且 $f:\overline{\Omega}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是一个连续函数。我们就关于 \eqref{s} 存在多于两个变号解这一长期存在的问题给出了肯定回答。更确切地说，我们在本文中证明：如果 $f$ 关于第二个变量是全局 3-超线性、次临界且为奇函数，则 \eqref{s} 拥有一个无界的变号解序列。我们的方法是变分法，并依赖于本文建立的一个新的变号对称山路定理。