研究具一般非线性的 Kirchhoff 方程变号解的一种扰动方法

通过采用一种新颖的扰动方法和下降流不变集方法，本文研究如下形式的一类半线性 Kirchhoff 方程变号解的存在性与多解性 $$-\left(a+ b\int_{\R^3}|\nabla u|^2\right)\triangle {u}+V(x)u=f(u),\,\,x\in\R^3,$$ 其中 $a,b>0$ 为常数，$V\in C(\R^3,\R)$，$f\in C(\R,\R)$。本文提出的方法具有鲁棒性，在于不要求非线性 $f$ 的单调性条件以及 $V$ 的强制性条件。我们的结果改进了 Y. Deng、S. Peng 和 W. Shuai（{\it J. Functional Analysis}, 3500-3527(2015)）的研究，在于本文中非线性包含幂型情形 $f(u)=|u|^{p-2}u$（$p\in(2,4)$），在此情形下，现有文献中对于无 $V$ 强制性条件时上述方程是否存在无穷多变号解仍属开放问题。此外，建立了{\it 能量倍增}，即对小的 $b>0$，变号解的能量严格大于基态解能量的两倍。