一类 Kirchhoff 方程的多峰正解

本文考虑非局部 Kirchhoff 问题 \n\begin{eqnarray*} -\left(\epsilon^2a+\epsilon b\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\right)\Delta u+V(x)u=u^{p},\,\,u>0 & & \text{in }\mathbb{R}^{3}, \end{eqnarray*} \n其中 $a,b>0$，$1<p<5$ 为常数，$\epsilon>0$ 为参数。在对函数 $V$ 的一些温和假设下，我们通过 Lyapunov-Schmidt 约化方法获得了当 $\epsilon$ 足够小时的多峰解。尽管文献中已通过各种方法得到了奇异摄动 Kirchhoff 问题的单峰解的许多结果，但由于非局部项 $\left(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\right)\Delta u$ 带来的一些困难，在本文之前尚无多峰解的结果。该问题一个显著的新特征是，相应的无摄动问题是一个偏微分方程组，而非单个 Kirchhoff 方程，这与大多数椭圆奇异摄动问题截然不同。