$\mathbb{R}^3$ 中 Kirchhoff 型问题的无穷多变号解

本文考虑如下非线性 Kirchhoff 型问题：$$\left\{\begin{array}{lcl}-\left(a+b\displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\right)\Delta u+V(x)u=f(u), & \textrm{in}\,\,\mathbb{R}^3,\\ u\in H^1(\mathbb{R}^3), \end{array}\right.$$ 其中 $a,b>0$ 为常数，非线性项 $f$ 在无穷远处为超线性且具有次临界增长，$V$ 连续且强制。对于 $f$ 关于 $u$ 为奇函数的情形，我们通过结合不变集方法与 Ljusternik-Schnirelman 型极小极大方法，得到上述问题的无穷多变号解。据我们所知，该问题的存在性结果寥寥无几。值得指出的是，非线性项在无穷远处未必是 4-超线性的，特别地，其包含幂型非线性项 $|u|^{p-2}u$，其中 $p\in(2,4]$。