一类带双参数与变阶分数阶 $p(\cdot)$-Laplacian 的多重非局部新问题

在本稿中，我们关注一类新颖的三非局部 Kirchhoff 问题，其涉及变阶的 $p(x)$-分数阶 Laplacian 方程。问题表述如下：\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} M\Big(\sigma_{p(x,y)}(u)\Big)(-\Delta)^{s(\cdot)}_{p(\cdot)}u(x) =\lambda |u|^{q(x)-2}u\left(\int_\O\frac{1}{q(x)} |u|^{q(x)}dx \right)^{k_1}+\beta|u|^{r(x)-2}u\left(\int_\O\frac{1}{r(x)} |u|^{r(x)}dx \right)^{k_2} \quad \mbox{in }\Omega, \\ u=0 \quad \mbox{on }\partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} 其中非局部项定义为 $$\sigma_{p(x,y)}(u)=\int_{\Omega\times \Omega}\frac{1}{p(x,y)}\frac{|u(x)-u(y)|^{p(x,y)}}{|x-y|^{N+s(x,y)p(x,y)}} \,dx\,dy.$$ 此处，$\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ 表示至少 $N\geq2$ 的有界光滑区域。函数 $M(s)$ 由 $M(s) = a - bs^\gamma$ 给出，其中 $a\geq 0$、$b>0$ 且 $\gamma>0$。参数 $k_1$、$k_2$、$\lambda$ 与 $\beta$ 为实参数，而变量 $p(x)$、$s(\cdot)$、$q(x)$ 与 $r(x)$ 连续且可随 $x$ 变化。为处理该问题，我们采用一些新方法与变分途径以及两种特定方法，即 Fountain 定理与对称 Mountain Pass 定理。利用这些技术，我们分别在两种不同情形（$a>0$ 与 $a=0$）下建立了该问题解的存在性与多解性。据我们所知，这些结果是对变阶 $p(x)$-分数阶 Laplacian 算子研究的首次贡献。