退化 Kirchhoff 双相问题的最小能量变号解

本文研究如下双相型非局部 Dirichlet 方程 \begin{align*} -\psi \left [ \int_\Omega \left ( \frac{|\nabla u |^p}{p} + \mu(x) \frac{|\nabla u|^q}{q}\right)\,\mathrm{d} x\right] \mathcal{G}(u) = f(x,u)\quad \text{in } \Omega, \quad u = 0\quad \text{on } \partial\Omega, \end{align*} 其中 $\mathcal{G}$ 为由 \begin{align*} \mathcal{G}(u)=\operatorname{div} \left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u + \mu(x) |\nabla u|^{q-2}\nabla u \right)\quad u\in W^{1,\mathcal{H}}_0(\Omega), \end{align*} 给出的双相算子，$\Omega\subseteq \mathbb{R}^N$，$N\geq 2$，为具有 Lipschitz 边界 $\partial\Omega$ 的有界域，$1<p<N$，$p<q<p^*=\frac{Np}{N-p}$，$0 \leq \mu(\cdot)\in L^\infty(\Omega)$，$\psi(s) = a_0 + b_0 s^{\vartheta-1}$ 对 $s\in\mathbb{R}$，其中 $a_0 \geq 0$，$b_0>0$ 且 $\vartheta \geq 1$，而 $f\colon\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为超线性且次临界增长的 Carathéodory 函数。我们证明了两个常号解（一正一负）以及一个变号解的存在性，该变号解恰为上述问题的最小能量变号解。证明基于变分工具结合定量形变引理与 Poincaré-Miranda 存在定理。