黎曼流形上一类二阶椭圆偏微分方程 Dirichlet 问题的注记

在这些注记中，我们研究形如 $$F(u)=\int_{\Omega}\phi\left( \left\vert \nabla u\right\vert \right)$$ 的凸泛函临界点的 Dirichlet 问题，其中 $\Omega$ 是完备黎曼流形 $\mathcal{M}$ 的有界域。当 $\Omega=\mathcal{M}$ 为 Cartan-Hadamard 流形时，我们也研究渐近 Dirichlet 问题。我们的目标是对该问题给出统一的处理方法，涵盖 $p-$Laplacian（$\phi(s)=s^{p}$，$p>1$）与极小曲面方程（$\phi(s)=\sqrt{1+s^{2}}$）的经典例子。我们的方法不使用变分法中的直接方法——后者在 $p-$Laplacian 情形似乎很常见。相反，我们使用光滑 Euler-Lagrange 方程解的先验 $C^{1}$ 估计的经典方法。这些估计通过无坐标微积分获得。诸如 $p-$Laplacian 的退化椭圆方程通过逼近论证处理。这些注记主要面向对黎曼流形上椭圆偏微分方程感兴趣的研究人员与研究生，并可作为相应课程与研讨会的材料。