具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界非线性的双重非局部系统

本文关注如下在 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下具有临界非线性的非线性双重非局部问题弱解的存在性与多解性 \begin{equation*} \left\{ \begin{split} (-\Delta)^su &= \lambda |u|^{q-2}u + \left(\int_{\Omega}\frac{|v(y)|^{2^*_\mu}}{|x-y|^\mu}~\mathrm{d}y\right) |u|^{2^*_\mu-2}u\; \text{in}\; \Omega (-\Delta)^sv &= \delta |v|^{q-2}v + \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_\mu}}{|x-y|^\mu}~\mathrm{d}y \right) |v|^{2^*_\mu-2}v \; \text{in}\; \Omega u &=v=0\; \text{in}\; \mb R^n\setminus\Omega, \end{split} \right. \end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mb R^n$ 中的光滑有界域，$n >2s$，$s \in (0,1)$，$(-\Delta)^s$ 是著名的分数阶拉普拉斯算子，$\mu \in (0,n)$，$2^*_\mu = \displaystyle\frac{2n-\mu}{n-2s}$ 是 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式中的上临界指数，$1<q<2$ 且 $\lambda,\delta >0$ 为实参数。我们研究对应于与 $(P_{\lambda,\delta})$ 相关联泛函的纤维映射，并表明在 Nehari 流形的适当子集上最小化可得到 $(P_{\la,\delta})$ 在 $\la$ 和 $\delta$ 合适范围内的至少两个非平凡解。