$n>2s$ 分数阶非局部 Sobolev 型不等式的余项、轮廓分解与尖锐定量稳定性

本文研究如下分数阶非局部 Sobolev 型不等式 \begin{equation*} C_{HLS}\bigg(\int_{\mathbb{R}^n}\big(|x|^{-\mu} \ast |u|^{p_s}\big)|u|^{p_s} dx\bigg)^{\frac{1}{p_s}}\leq\|u\|_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^n)}^2\quad \mbox{对所有}~~u\in \dot{H}^s(\mathbb{R}^n), \end{equation*} 该不等式由经典分数阶 Sobolev 不等式与 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式导出，其中 $s\in(0,\frac{n}{2})$，$\mu\in(0,n)$，且 $p_{s}=\frac{2n-\mu}{n-2s}\geq2$ 为能量临界指数。$C_{HLS}>0$ 是一个依赖于维度 $n$ 及参数 $s$ 和 $\mu$ 的常数，可由 $W(x)$ 达到，且在相差平移与伸缩的意义下，$W(x)$ 是该非局部 Sobolev 型不等式唯一的正径向对称极值函数。众所周知，在适当的伸缩下，\begin{equation*} (-\Delta)^{s}u=(|x|^{-\mu}\ast |u|^{p_s})|u|^{p_s-2}u\quad \mbox{对所有}~~u\in\dot{H}^s(\mathbb{R}^n), \end{equation*} 是对应极小化问题的 Euler-Lagrange 方程。本文首先证明了对于所有 $s\in(0,\frac{n}{2})$，$\mu\in(0,n)$ 且 $0<\mu\leq4s$，临界 Hartree 方程正解的非退化性。进一步，我们证明了梯度型余项的存在性，并作为推论，在 $s\in(0,\frac{n}{2})$ 条件下导出了支撑在有限测度域上的函数在弱 $L^{\frac{n}{n-2s}}$-范数下余项的存在性。最后，我们在参数区域 $s\in(0,\frac{n}{2})$ 且气泡数 $\kappa\geq1$，以及 $\mu\in(0,n)$ 且 $0<\mu\leq4s$ 下，为上述不等式的临界点建立了 Struwe 型轮廓分解与定量稳定性估计。特别地，我们提供了一个例子以说明我们的结果在 $n=6s$ 与 $\mu=4s$ 时的尖锐性。