临界点设定下对数Sobolev不等式的尖锐稳定性

本文考虑欧氏对数Sobolev不等式 \begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d}|u|^2\log|u|dx\leq\frac{d}{4}\log\bigg(\frac{2}{\pi d e}\|\nabla u\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}^2\bigg), \end{eqnarray*} 其中$u\in W^{1,2}(\mathbb{R}^d)$且$d\geq2$，$\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}=1$。众所周知，该不等式的极值函数恰为高斯函数 \begin{eqnarray*} \mathfrak{g}_{\sigma,z}(x)=(\pi\sigma)^{-\frac{d}{2}}\mathfrak{g}_{*}\bigg(\sqrt{\frac{\sigma}{2}}(x-z)\bigg)\quad\text{with}\quad \mathfrak{g}_{*}(x)=e^{-\frac{|x|^2}{2}}. \end{eqnarray*} 我们证明若$u\geq0$满足$(\nu-\frac12)c_0<\|u\|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^2<(\nu+\frac12)c_0$且$\|-\Delta u+u-2u\log |u\|_{H^{-1}}\leq\delta$，其中$c_0=\|\mathfrak{g}_{1,0}\|_{H^1(\mathbb{R}^d)}^2$，$\nu\in \mathbb{N}$且$\delta>0$充分小，则 \begin{eqnarray*} \text{dist}_{H^1}(u, \mathcal{M}^\nu)\lesssim\|-\Delta u+u-2u\log |u\|_{H^{-1}} \end{eqnarray*} 这在右侧阶数尖锐的意义下是最优的，其中 \begin{eqnarray*} \mathcal{M}^\nu=\{(\mathfrak{g}_{1,0}(\cdot-z_1), \mathfrak{g}_{1,0}(\cdot-z_2), \cdots, \mathfrak{g}_{1,0}(\cdot-z_\nu))\mid z_i\in\bbr^d\}. \end{eqnarray*} 我们的结果给出了欧氏对数Sobolev不等式在临界点设定下的最优稳定性。