一类最优 Sobolev 不等式与非线性标量场方程

我们找到一类最优 Sobolev 不等式 $$\Big(\int_{\mathbb{R}^N}|\nabla u|^2\, dx\Big)^{\frac{N}{N-2}}\geq C_{N,G}\int_{\mathbb{R}^N}G(u)\, dx, \quad u\in\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N), N\geq 3,$$ 其中非线性函数 $G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为 $\mathcal{C}^1$ 类，满足 Berestycki 和 Lions 基础性工作中精神下的一般增长假设。然而，我们容许涉及零质量、正质量和无穷质量情形的更广泛问题类，且 $G$ 不必为偶函数。我们证明任意极小子在平移意义下是径向的，此外，在伸缩意义下，它是非线性标量场方程 $$-\Delta u = g(u)\quad \hbox{in }\mathbb{R}^N,\quad\hbox{with }g=G'.$$ 的最小能量解。特别地，若 $G(u)=u^2\log |u|$，则锐常数为 $C_{N,G}:=2^*(\frac{N}{2})^{2^*}e^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\pi)^{\frac{N}{N-2}}$，且 $u_\lambda(x)=e^{\frac{N-1}{2}-\frac{\lambda^2}{2}|x|^2}$（$\lambda>0$）构成平移意义下的整个极小子族。该最优不等式基于 Pohozaev 流形方法给出了经典对数 Sobolev 不等式的新证明。此外，若 $N\geq 4$，则至少存在一个非径向解，且若另有 $N\neq 5$，则非线性标量场方程有无穷多个非径向解。该问题相关的能量泛函在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 上可能取无穷且在其定义域中不是 Fréchet 可微的。我们提出了基于 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中 Lions 引理新变体的该问题的变分方法。