气泡紧化下 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的稳定性

本文旨在将 arXiv:1905.08203 和 arXiv:2103.15360 中推导的结果推广到分数阶 Sobolev 空间。特别地，我们将证明对于 $s\in (0,1)$，$n>2s$ 和 $\nu\in \mathbb{N}$，存在常数 $\delta = \delta(n,s,\nu)>0$ 和 $C=C(n,s,\nu)>0$，使得对于任何满足 \n\begin{align*} \left\| u-\sum_{i=1}^{\nu} \tilde{U}_{i}\right\|_{\dot{H}^s} \leq \delta \end{align*} 的函数 $u\in \dot{H}^s(\mathbb{R}^n)$，其中 $\tilde{U}_{1}, \tilde{U}_{2},\cdots \tilde{U}_{\nu}$ 是一族 $\delta-$相互作用的 Talenti 气泡，存在一族 Talenti 气泡 $U_{1}, U_{2},\cdots U_{\nu}$ 使得 \n\begin{align*} \left\| u-\sum_{i=1}^{\nu} U_{i}\right\|_{\dot{H}^s} \leq C\left\{\begin{array}{ll} \Gamma & \text { 若 } 2s < n < 6s,\\ \Gamma|\log \Gamma|^{\frac{1}{2}} & \text { 若 } n=6s, \\ \Gamma^{\frac{p}{2}} & \text { 若 } n > 6s \end{array}\right. \end{align*} 其中 $\Gamma=\left\|\Delta u+u|u|^{p-1}\right\|_{H^{-s}}$ 且 $p=2^*-1=\frac{n+2s}{n-2s}$。