分数阶Hardy-Sobolev不等式的定量稳定性：Euler-Lagrange方程的作用

本文研究了分数阶Hardy-Sobolev不等式的精确稳定性估计：$$\mu_{s,t}\left(\mathbb{R}^N\right) \left(\int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^{2^*_s(t)}}{|x|^t} \,{\rm d}x \right)^{\frac{2}{2^*_s(t)}} \leq \int_{\mathbb{R}^N} \left|(-\Delta)^{\frac{s}{2}} u \right|^2 \,{\rm d}x, \quad \text{for all } u \in \dot{H}^s\left(\mathbb{R}^N\right),$$ 其中 $N > 2s$，$s \in (0,1)$，$0 < t < 2s < N$，且 $2^*_s(t) = \frac{2(N-t)}{N-2s}$。这里，$\mu_{s,t}\left(\mathbb{R}^N\right)$ 表示该不等式中的最佳常数。本文重点关注上述不等式及相应Euler-Lagrange方程在正基态解附近的定量稳定性结果。此外，为Euler-Lagrange方程建立了一个定性稳定性结果，对相关能量泛函的Palais-Smale序列给出了透彻的刻画。这些结果推广了 $\mathbb{R}^N$ 中经典Sobolev不等式的精确定量稳定性结果（最初由Bianchi和Egnell \cite{BE91} 得出），以及 $\mathbb{R}^N$ 中相应的临界指数问题（由Ciraolo、Figalli和Maggi \cite{CFM18} 在分数阶微积分框架下探讨）的结果。