非局部 Sobolev 不等式临界点的稳定性估计

本文研究以下非局部 Soblev 不等式的稳定性：\n\begin{equation*} C_{HLS}\big(\int_{\mathbb{R}^n}\big(|x|^{-\mu} \ast u^{p}\big)u^{p} dx\big)^{\frac{1}{p}}\leq\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla u|^2 dx , \quad \forall~u\in D^{1,2}(\mathbb{R}^n), \end{equation*} 其中 $p=\frac{2n-\mu}{n-2}$，$n\geq3$ 且 $\mu\in(0,n)$，为能量临界指数，$C_{HLS}$ 为取决于 $n$ 和 $\mu$ 的最佳常数。对于非局部 Soblev 不等式，除去平移和缩放后，可由唯一的一族正且径向对称的极大函数 $W(x)$ 达成最佳常数，该函数满足（经过适当缩放后）经典临界 Hartree 方程：\n\begin{equation*} \Delta u+(|x|^{-\mu}\ast u^{p})u^{p-1}=0 \quad \mbox{in}\quad \mathbb{R}^n. \end{equation*} 最近，Piccione、Yang 和 Zhao 在\cite{p-y-z24}中建立了非局部 Struwe 分解的非局部版本，他们仅证明了在无维数限制下单气泡情形下的非局部定量稳定性，以及当维数 $3\leq n<6-\mu$ 且 $\mu\in(0,n)$ 且 $\mu\in(0,4]$ 时，多气泡情形（$\kappa\geq2$）的非局部版本（见Ciraolo-Figalli-Maggi \cite{CFM18} 和 Figalli-Glaudo \cite{FG20}）。我们在 $n\geq6-\mu$ 且 $\mu\in(0,4)$ 时，建立了非局部 Soblev 不等式临界点的定量稳定性估计，这是对Deng-Sun-Wei 在\cite{DSW21}中关于经典 Sobolev 不等式的工作的扩展。