论 Sobolev 不等式临界点的尖锐稳定性

给定 $n\geq 3$,考虑 $\mathbb R^n$ 中的临界椭圆方程 $\Delta u + u^{2^*-1}=0$,其中 $u > 0$。该方程对应于 Sobolev 嵌入 $H^1(\mathbb R^n)\hookrightarrow L^{2^*}(\mathbb R^n)$ 所诱导的 Euler-Lagrange 方程,且众所周知其解被唯一刻画,并由所谓的“Talenti 气泡”给出。此外,由于 Struwe 的一个基本结果,该命题“在起泡意义下是稳定的”:若 $u:\mathbb R^n\to(0,\infty)$ 近似满足 $\Delta u + u^{2^*-1}=0$,则 $u$ 在 $H^1(\mathbb R^n)$ 范数下(非定量地)接近于若干弱相互作用 Talenti 气泡之和。更精确地,若 $\delta(u)$ 表示 $u$ 到 Talenti 气泡之和流形的 $H^1(\mathbb R^n)$ 距离,Struwe 证明了当 $\lVert\Delta u + u^{2^*-1}\rVert_{H^{-1}}\to 0$ 时 $\delta(u)\to 0$。本文研究临界点稳定性的尖锐定量版本是否成立:更精确地,我们询问在能量 $\lVert\nabla u\rVert_{L^2}$ 的有界条件(控制气泡个数)下,是否有 $\delta(u) \lesssim \lVert\Delta u + u^{2^*-1}\rVert_{H^{-1}}$。第一作者与 Ciraolo 和 Maggi 最近的一篇论文表明,若 $u$ 仅接近于一个气泡,则上述结果成立。在此我们惊讶地证明,每当至少存在两个气泡时,上述估计对 $3\le n\le 5$ 成立,而对 $n\ge 6$ 不成立。据我们所知,这是定量稳定性估计如此显著地依赖于空间维数、并在维数 $n$ 的某个特定值处完全改变行为的首个情形。