通过渐近分析获得流形上高阶 Sobolev 不等式的最优常数

设 $(M,g)$ 为 $n$ 维闭黎曼流形，$k\geq 1$ 为满足 $n>2k$ 的整数。我们证明存在 $B_0>0$，使得对所有 $u \in H^{k}(M)$，有 $$\|u\|_{L^{2^\sharp}(M)}^2 \leq K_0^2 \int_M |\Delta_g^{k/2} u|^2 \,dv_g + B_0 \|u\|_{H^{k-1}(M)}^2,$$ 其中 $2^\sharp = \frac{2n}{n-2k}$ 且 $\Delta_g = -\operatorname{div}_g(\nabla\cdot)$。这里 $K_0$ 是欧氏 Sobolev 不等式 $\big(\int_{\mathbb{R}^n} |u|^{2^\sharp}\big)^{2/2^\sharp} \leq K_0^2 \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla^k u|^2$（对所有 $u \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$）的最优常数。这一结果作为对 $M$ 中形如 $(\Delta_g + \alpha)^k u = u^{2^\sharp-1}$ 的多调和临界非线性方程的正解序列 $(u_\alpha)_\alpha$ 进行逐点爆破分析的推论而得到证明。我们获得了 $u_\alpha$ 的逐点描述，并显式地依赖于 $\alpha$ 当 $\alpha\to \infty$ 时的行为。