高阶L2-余项的最优Sobolev不等式

我们研究了在闭黎曼流形上，当余项为 $L^2$ 范数时，最优高阶Sobolev不等式 $H_k^2(M^n)\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2k}}(M^n)$ 的有效性。与 $k=1$ 的情况不同，对于 $k>1$，最优不等式 generally 不成立。我们证明了决定不等式有效性与否的条件，这些条件取决于流形的几何结构。我们的条件在 $k=2$ 且在小维数时具有尖锐性。