紧致黎曼流形上的最优Hardy-Sobolev不等式

给定一个维数 $n > 2$ 的紧致黎曼流形 $(M,g)$、一点 $x_0 \in M$ 和 $s \in (0,2)$。令 $2^*(s) = 2(n-s)/(n-2)$ 为临界 Hardy-Sobolev 指数。Hardy-Sobolev 嵌入保证存在 $A,B > 0$ 使得对所有 $u \in H_1^2(M)$ 有 $(\int_M|u|^{2^*(s)}dv_g)^{2/2^*(s)} \leq A\int_M |\nabla u|_g^2 dv_g +B\int_M u^2 dv_g$。已有证明 $A \leq K(n,s)$，且在上述不等式中可取任意 $A > K(n,s)$，其中 $K(n,s)$ 是欧氏 Hardy-Sobolev 不等式中的最佳常数。在本文中，我们证明在上述不等式中也可取 $A = K(n,s)$。