完备黎曼流形上的尖锐 Morrey-Sobolev 不等式

我们在具有 $\mathbb R^n$ 中尖锐常数的完备黎曼流形上研究了两个 Morrey-Sobolev 不等式（分别具有支集界和 $L^1-$界）。我们在两种情况下证明了以下结果：$\bullet$ 如果 $(M,g)$ 是验证了 $n-$维 Cartan-Hadamard 猜想的 {\it Cartan-Hadamard 流形}，则尖锐 Morrey-Sobolev 不等式在 $(M,g)$ 上成立。此外，当且仅当 $(M,g)$ 等距同构于标准欧几里得空间 $(\mathbb R^n,e)$ 时，极值函数存在。$\bullet$ 如果 $(M,g)$ 具有 {\it 非负 Ricci 曲率}，则 $(M,g)$ 支持尖锐 Morrey-Sobolev 不等式当且仅当 $(M,g)$ 等距同构于 $(\mathbb R^n,e)$。